Question

怎样证明数列（1+1/n）^n是单调有界数列

Answer 1

记Xn＝(1＋1/n)^n，按二项式定理展开：
Xn＝(1＋1/n)^n
＝1＋n/1!×1/n＋n(n-1)/2!×1/n^2＋n(n-1)(n-2)/3!×1/n^3＋.......＋n(n-1)(n-2)......*2*1/n!×1/n^n
＝1＋1＋1/2!×(1－1/n)＋1/3!×(1－1/n)(1－2/n)＋......＋1/n!×(1－1/n)(1－2/n)...[1－(n-1)/n]
X(n+1)＝[1＋1/(n+1)]^(n+1)
＝1 ＋ (n+1)/1!×1/(n+1) ＋ n(n+1)/2!×1/(n+1)^2 ＋ (n+1)n(n-1)/3!×1/(n+1)^3＋.......＋(n+1)n(n-1)(n-2)......*2/n!×1/(n+1)^n ＋ (n+1)n(n-1)(n-2)......*2*1/(n+1)!×1/(n+1)^(n+1)
＝1＋1＋1/2!×(1－1/(n+1))＋1/3!×(1－1/(n+1))(1－2/(n+1))＋......＋1/n!×[1－1/(n+1)][1－2/(n+1)]...[1－(n-1)/(n+1)]＋1/(n+1)!×[1－1/(n+1)][1－2/(n+1)]...[1－(n-1)/(n+1)][1－n/(n+1)]
X(n+1)比Xn多一项，且除了前面两个1以外的其余每项都比Xn的对应项小，所以Xn＜X(n+1)，所以数列{(1＋1/n)^n}单调
又
0＜Xn＝1＋1＋1/2!×(1－1/n)＋1/3!×(1－1/n)(1－2/n)＋......＋1/n!×(1－1/n)(1－2/n)...[1－(n-1)/n]
＜1＋1＋1/2!＋1/3!＋...＋1/n!
＜1＋1＋1/2＋1/2^2＋...＋1/2^(n-1)
＝3－1/2^n
＜3
所以，数列{(1＋1/n)^n}有界

Answer 2

由二项式定理，
(1+1/n)^n=1+C(n,1)*1/n+C(n,2)(1/n)^2+……+C(n,n)*(1/n)^n
=1+1+(n-1)/(2n)+(n-1)(n-2)/(6n^2)+……+1/n^n
<2+1/2+1/4+……+1/2^n
<3,
[1+1/(n+1)]^(n+1)/(1+1/n)^n
=[n(n+2)/(n+1)^2]^n*(n+2)/(n+1)
=[1-1/(n+1)^2]^n*(n+2)/(n+1)
>[1-n/(n+1)^2]*(n+2)/(n+1)
=(n^2+n+1)(n+2)/(n+1)^3
=1+1/(n+1)^3>1,
所以命题成立。