Question

求问一个函数微分的问题

Answer 1

f(x+△x)=f(x)g(△x)+f(△x)g(x)

所以，
f(x+△x)-f(x)
=f(x)[g(△x)-1]+f(△x)g(x)

所以，
[f(x+△x)-f(x)]/△x
=f(x)[g(△x)-1]/△x+f(△x)g(x)/△x

根据导数的定义，
lim(△x→0)[g(△x)-1]/△x=g'(0)=0
lim(△x→0)f(△x)/△x=f'(0)=1

所以，
f'(x)=lim(△x→0)[f(x+△x)-f(x)]/△x
=f(x)·0+1·g(x)
=g(x)

追问

老师，帮忙看看为什么这个结论放在这儿就不对了

谢谢老师了

追答

你找的函数不满足题目的条件：
f(x+y)=f(x)g(y)+f(y)g(x)

追问

啊~就是说我写的这个例题并不是套用这个结论得到的吧~这个结论是不能用在我写的这种题目的情况的

追答

很明显，这里的函数原型是sin，cos

sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny

Answer 2

Δx趋向于0时
f'(x)=lim[f(x+Δx)-f(x)]/Δx
= lim[f(x)g(Δx)+f(Δx)g(x)-f(x)]/Δx
= lim f(x){[g(Δx)-1]/Δx} + lim{g(x)[f(Δx)]/Δx}
=f(x) lim{[g(Δx)-g(0)]/(Δx-0)} + g(x) lim{[f(Δx)-f(0)]/(Δx-0)}
=f(x)g'(0)+g(x)f'(0)=g(x)