Question

|Un|收敛,Un收敛吗

如题，加了绝对值后的收敛是绝对收敛，去掉绝对值的话，是否收敛

Answer 1

级数 ∑un 绝对收敛，有 un→0(n→∞)，故存在 N，使当 n>N 时，有 |un|<1/2，于是当 n>N 时，|un/(1+un)| <= |un|/(1-|un|) < 2|un|，据比较判别法，可知级数 ∑[un/(1+un)] 绝对收敛。

例如：

如果Un是正项级数，以上结论是对的，因为

|(-1)^dun * Un + (-1)^(n+1) Un+1 + ... + (-1)^m * Um| < Un + Un+1 + ... Um

由柯西收敛准则和上式知(-1)^n * Un 收敛（实际上是控制收敛原理）

如果Un不是正项级数，比如说Un = (-1)^n / n，显然结论是不对的。

扩展资料：

一般的级数u1+u2+...+un+...

它的各项为任意级数。

如果级数Σu各项的绝对值所构成的正项级数Σ∣un∣收敛，

则称级数Σun绝对收敛。

如果级数Σun收敛，

而Σ∣un∣发散，

则称级数Σun条件收敛。

参考资料来源：百度百科-收敛