Question

已知（X,Y）的联合密度函数为f(x,y)大括号x^2+xy/3,0小于等于x小于等于1，0

已知（X,Y）的联合密度函数为f(x,y)大括号x^2+xy/3,0小于等于x小于等于1，0小于等于y小于等于2，0，其他。求（1）P（X大于0.5）
（2）P（X+Y小于1）
（3）P（X小于Y）

Answer 1

(1)P(X>0.5)=∫<0.5,1>dx∫<0,2>(x^2+xy/3)dy
=∫<0.5,1>(2x^2+2x/3)dx
=[(2/3)x^3+x^2/3]|<0.5,1>
=(2/3)(1-0.125)+(1/3)(1-0.25)
=5/6.
(2)P(x+y<1)=∫<0,1>dx∫<0,1-x>(x^2+xy/3)dy
=∫<0,1>[(1-x)x^2+x(1-x)^2/6]dx
=(1/6)∫<0,1>(x+4x^2-5x^3)dx
=(1/6)(1/2+4/3-5/4)
=7/72.
(3)P(x<y)=∫<0,1>dx∫<x,2>(x^2+xy/3)dy
=∫<0,1>[(2-x)x^2+x(4-x^2)/6]dx
=(1/6)∫<0,1>(4x+12x^2-7x^3)dx
=(1/6)(2+4-7/4)
=17/24.