若集合A上的关系R,S具有对称性,证明:R·S具有对称性的充要条件为R·S=S·R。
若集合A上的关系R,S具有对称性,证明:R·S具有对称性的充要条件为R·S=S·R。离散数学习题...
若集合A上的关系R,S具有对称性,证明:R·S具有对称性的充要条件为R·S=S·R。
离散数学习题 展开
离散数学习题 展开
展开全部
证明:
①证明充分性:若R·S=S·R,则R · S具有对称性。
对于任意的x,y∈A,若(x,y)∈R · S,则存在a∈A,满足(x,a)∈R,(a,y)∈S,又R,S具有对称性,所以有(y,a)∈S,(a,x)∈R,所以(y,x)∈S · R,又S · R=R · S,故(y,x)∈R · S,因此R · S具有对称性。
②证明必要性:若R · S具有对称性,则R · S=S · R。
先证R · S⊆S · R:对于任意的(x,y)∈R · S,因为R · S具有对称性,则有(y,x)∈R · S,则存在a∈A,满足(y,a)∈R,(a,x)∈S,又R,S具有对称性,所以有(x,a)∈S,(a,y)∈R,所以(x,y)∈S·R,故R · S⊆S · R。
再证S · R⊆R · S:对于任意的(x,y)∈S · R,则存在a∈A,满足(x,a)∈S,(a,y)∈R,又R,S具有对称性,所以有(y,a)∈R,(a,x)∈S,故(y,x)∈R · S,因为R · S具有对称性,所以(x,y)∈R · S,故S · R⊆R · S。
因此,R·S具有对称性的充要条件为R · S=S · R。
①证明充分性:若R·S=S·R,则R · S具有对称性。
对于任意的x,y∈A,若(x,y)∈R · S,则存在a∈A,满足(x,a)∈R,(a,y)∈S,又R,S具有对称性,所以有(y,a)∈S,(a,x)∈R,所以(y,x)∈S · R,又S · R=R · S,故(y,x)∈R · S,因此R · S具有对称性。
②证明必要性:若R · S具有对称性,则R · S=S · R。
先证R · S⊆S · R:对于任意的(x,y)∈R · S,因为R · S具有对称性,则有(y,x)∈R · S,则存在a∈A,满足(y,a)∈R,(a,x)∈S,又R,S具有对称性,所以有(x,a)∈S,(a,y)∈R,所以(x,y)∈S·R,故R · S⊆S · R。
再证S · R⊆R · S:对于任意的(x,y)∈S · R,则存在a∈A,满足(x,a)∈S,(a,y)∈R,又R,S具有对称性,所以有(y,a)∈R,(a,x)∈S,故(y,x)∈R · S,因为R · S具有对称性,所以(x,y)∈R · S,故S · R⊆R · S。
因此,R·S具有对称性的充要条件为R · S=S · R。
来自:求助得到的回答
推荐律师服务:
若未解决您的问题,请您详细描述您的问题,通过百度律临进行免费专业咨询