Question

若集合A上的关系R，S具有对称性，证明：R·S具有对称性的充要条件为R·S=S·R。

若集合A上的关系R，S具有对称性，证明：R·S具有对称性的充要条件为R·S=S·R。
离散数学习题

Answer 1

证明：
①证明充分性：若R·S=S·R，则R · S具有对称性。
对于任意的x，y∈A，若(x，y)∈R · S，则存在a∈A，满足(x，a)∈R，(a，y)∈S，又R，S具有对称性，所以有(y，a)∈S，(a，x)∈R，所以(y，x)∈S · R，又S · R=R · S，故(y，x)∈R · S，因此R · S具有对称性。
②证明必要性：若R · S具有对称性，则R · S=S · R。
先证R · S⊆S · R：对于任意的(x，y)∈R · S，因为R · S具有对称性，则有(y，x)∈R · S，则存在a∈A，满足(y，a)∈R，(a，x)∈S，又R，S具有对称性，所以有(x，a)∈S，(a，y)∈R，所以(x，y)∈S·R，故R · S⊆S · R。
再证S · R⊆R · S：对于任意的(x，y)∈S · R，则存在a∈A，满足(x，a)∈S，(a，y)∈R，又R，S具有对称性，所以有(y，a)∈R，(a，x)∈S，故(y，x)∈R · S，因为R · S具有对称性，所以(x，y)∈R · S，故S · R⊆R · S。
因此，R·S具有对称性的充要条件为R · S=S · R。