Question

n阶矩阵A的n个特征值互不相等，则A与对角矩阵相似?

n阶矩阵A的n个特征值互不相等，则A与对角矩阵相似?但如果n个特征值中有相等的，也不能说A与对角矩阵不相似对吗？

Answer 1

n阶矩阵A与对角矩阵相似的充要条件是A有n个线性无关的特征向量，当n阶矩阵A有n个不同的特征值时，A就一定有n个线性无关的特征向量，因为矩阵的属于不同特征值的特征向量一定线性无关。

但这只是A与对角矩阵相似的充分非必要条件，因为当n阶矩阵A有相同的特征值时，也能够有n个线性无关的特征向量，例如

A=1 2 2

2 1 2

2 2 1

其特征值为5,-1,-1,它有两个特征值-1，而A为实对称矩阵，显然可以对角化。

扩展资料：

设A,B都是n阶矩阵，若存在可逆矩阵P，使P^(-1)AP=B，则称B是A的相似矩阵, 并称矩阵A与B相似，记为A~B。对进行运算称为对进行相似变换，称可逆矩阵为相似变换矩阵。

n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件为矩阵A有n个线性无关的特征向量。

注： 定理的证明过程实际上已经给出了把方阵对角化的方法。

（1） 求出全部的特征值；

（2）对每一个特征值,设其重数为k,则对应齐次方程组的基础解系由k个向量构成，即为对应的线性无关的特征向量；

（3）上面求出的特征向量恰好为矩阵的各个线性无关的特征向量。

参考资料来源：百度百科-相似矩阵

Answer 2

如图