Question

复变函数级数收敛问题

复变函数级数收敛问题下列级数是否收敛？是否绝对收敛？

Answer 1

没有学过复变函数，不过在高等数学的幂级数部分求收敛半径的时候确实是有两种办法可以计算的

一种就是对于系数相比或者开n次方，求极限，然后去极限的导数则为收敛半径

而另一种计算方法，就是这道题目中的方法

直接带着式子进行比值求极限运算或者对式子进行开n次方，把z当成常量，求出极限之后令结果小于1，就可以得到收敛半径和收敛区间

这两种计算方法都是正确的

如果z的幂不连续，那么采用第二种方法计算的话，没有任何问题，直接计算就可以了，然而用第一种方法计算的话，则如下图

需要取倒数之后再开k次方

Answer 2

前n项和Sn=z^n-1,当|z|＜1时,z^n的极限是0,所以Sn收敛于-1,级数收敛.当|z|＞1时,z^n的极限是∞,Sn发散,级数发散.当z=1时,Sn收敛于0,级数收敛.当|z|=1且z≠1时,Sn无极限,级数发散.
综上,级数当|z|＜1或z=1时收敛,其余情况下发散.

Answer 3

乘进去后合并同类项嘛.乘进去后z^n（n>=1）前的系数是 -1/5{[1/2^n+(-1)^(n-1)/3^n]-[1/2^(n+1)+(-1)^(n)/3^(n+1)] =1/5[-1/2^(n+1)+(-1)^n/3^(n+1)-(-1)^(n-1)*3/3^(n+1)]=1/5[-1/2^(n+1)+(-1)^n/3^(n+1)+3(-1)^n/3^(n+1)]=1/5[-1/2^(n+1)+4(-1)^n/3^(n+1)] 当n=0时,式子也符合
就是相当于乘进去后,两个Σ求和,把第一个的指标换一下