36题求解
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解答:
当t属于[1/2,2],g(t)在[1/2,2/3]递减,[2/3,2]递增
g(t)最大值为g(2)=1
f(s)>=1在[1/2,2]上恒成立
a/x+xlnx>=1
a>=x-x^2lnx
令h(x)=x-x^2lnx
h`(x)=1-2xlnx-x
令h`(x)=0,x=1
h(x)在[1/2,1]递增,[1,2]递减
h(x)最大为h(1)=1
∴a>=1
(1)f'(x)=1/x-a,根据题意,在区间(1,+∞)上为减函数,即当x>1的时候,f'(x)<0
所以1/x-a<0
1/x<a
得到a>1.
g(x)'=e^x-a
根据题意,要在(1,+∞)上有最小值,即当x>1的时候,g'(x)>0,为增函数,所以:
e^x-a>0
e^x>a
即:e>a.
所以a的取值范围为:(1,e).
(2)g(x)'=e^x-a,在区间(-1,+∞)为单调增函数,即当x>-1的时候,g'(x)>0,为增函数,所以:
e^x-a>0
e^x>a
e^x>e^(-1)>a
则:a<1/e.
此时f'(x)=1/x-a,
当0<x<e<1/a的时候,f'(x)>0,为增函数。
当e<x=1/a的时候,f'(x)=0
当x>1/a>e的时候,f'(x)<0,为减函数。
所以只有一个零点。
当t属于[1/2,2],g(t)在[1/2,2/3]递减,[2/3,2]递增
g(t)最大值为g(2)=1
f(s)>=1在[1/2,2]上恒成立
a/x+xlnx>=1
a>=x-x^2lnx
令h(x)=x-x^2lnx
h`(x)=1-2xlnx-x
令h`(x)=0,x=1
h(x)在[1/2,1]递增,[1,2]递减
h(x)最大为h(1)=1
∴a>=1
(1)f'(x)=1/x-a,根据题意,在区间(1,+∞)上为减函数,即当x>1的时候,f'(x)<0
所以1/x-a<0
1/x<a
得到a>1.
g(x)'=e^x-a
根据题意,要在(1,+∞)上有最小值,即当x>1的时候,g'(x)>0,为增函数,所以:
e^x-a>0
e^x>a
即:e>a.
所以a的取值范围为:(1,e).
(2)g(x)'=e^x-a,在区间(-1,+∞)为单调增函数,即当x>-1的时候,g'(x)>0,为增函数,所以:
e^x-a>0
e^x>a
e^x>e^(-1)>a
则:a<1/e.
此时f'(x)=1/x-a,
当0<x<e<1/a的时候,f'(x)>0,为增函数。
当e<x=1/a的时候,f'(x)=0
当x>1/a>e的时候,f'(x)<0,为减函数。
所以只有一个零点。
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