Question

多元函数微分题

多元函数微分题这道题如何证明？

Answer 1

F(x，y，z)=(√x)+(√y)+(√z)-(√a)=0；
设M(xo，yo，zo)为曲面F上的任意一点，即其坐标满足等式：(√xo)+(√yo)+(√zo)-√a=0;
∂F/∂x=1/(2√x)，故(∂F/∂x)∣(xo,yo,zo)=1/(2√xo)；
同理，(∂F/∂y)∣(xo,yo,zo)=1/(2√yo)；(∂F/∂z)∣(xo,yo,zo)=1/(2√zo)；
故该曲面上任意一点M(xo，yo，zo)处的切平面方程为：
[1/(2√xo)](x-xo)+[1/(2√yo)](y-yo)+[1/(2√zo)](z-zo)=0
令y=0，z=0，即得：[1/(2√xo)](x-xo)-[1/(2√yo)]yo-[1/(2√zo)]zo=0
即有[1/(2√xo)]x=[xo/(2√xo)]+[yo/(2√yo)]+[zo/(2√zo)]
消去1/2，并有理化分母得：(x√xo)/xo=(√xo)+(√yo)+(√zo)=√a
即在x轴上的截距x=(xo√a)/(√xo)=√(axo)；同理可得该切平面在y轴上的截距y=√(ayo)；
在z轴上的截距z=√(a√zo)；
故三个截距之和=x+y+z=√(axo)+√(ayo)+√(a√zo)=(√a)[(√xo)+(√yo)+(√zo)]=(√a)(√a)=a.
故证。