Question

证明:如果a是正定矩阵,那么a的m次方也是正定矩阵

证明:如果a是正定矩阵,那么a的m次方也是正定矩阵

Answer 1

矩阵正定的充分必要条件是它的所有特征值都是正数

若A是正定阵，则它的特征值λ1，λ2，...，λn都是正数

从而A^m的特征值λ1^m，λ2^m，...，λn^m都是正数

所以A^m也是正定矩阵

扩展资料：

正定矩阵的行列式恒为正；实对称矩阵A正定当且仅当A与单位矩阵合同；若A是正定矩阵，则A的逆矩阵也是正定矩阵；两个正定矩阵的和是正定矩阵；正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵。

对于具体的实对称矩阵，常用矩阵的各阶顺序主子式是否大于零来判断其正定性；对于抽象的矩阵，由给定矩阵的正定性，利用标准型，特征值及充分必要条件来证相关矩阵的正定性。

Answer 2

矩阵正定的充分必要条件是它的所有特征值都是正数。若A是正定阵，则它的特征值λ1，λ2，...，λn都是正数，从而A^m的特征值λ1^m，λ2^m，...，λn^m都是正数，所以A^m也是正定矩阵。