Question

设A为正定矩阵，证明伴随矩阵A*也是正定矩阵

Answer 1

这里用到A是正定矩阵的一个等价条件：A正定等价于A的特征值λ都>0。

如果A是正定。判断A的伴随也就是A*的特征值是否也都>0。

考虑Aa=λa，A*Aa=λA*a，|A|a/λ=A*a，这里可看出A*的特征值为|A|/λ。因为A正定，所以|A|>0，λ>0，那么A*的特征值=|A|/λ >0，因此A*是正定的。

这说明：正定矩阵的伴随矩阵是正定的。

现在A*是正定的，那么根据这个结论，可知道(A*)*是正定的。

扩展资料：

在线性代数中，正定矩阵的性质类似复数中的正实数。与正定矩阵相对应的线性算子是对称正定双线性形式。

根据正定矩阵的定义及性质，判别对称矩阵A的正定性有两种方法：

（1）求出A的所有特征值。若A的特征值均为正数，则A是正定的；若A的特征值均为负数，则A为负定的。

（2）计算A的各阶主子式。若A的各阶主子式均大于零，则A是正定的；若A的各阶主子式中，奇数阶主子式为负，偶数阶为正，则A为负定的。

如果二维矩阵可逆，那么它的逆矩阵和它的伴随矩阵之间只差一个系数，对多维矩阵不存在这个规律。然而，伴随矩阵对不可逆的矩阵也有定义，并且不需要用到除法。

参考资料来源：百度百科--伴随矩阵

参考资料来源：百度百科--正定矩阵

Answer 2

这里用到A是正定矩阵的一个等价条件：A正定 等价于 A的特征值λ都>0.
我们现在想知道如果A是正定,那么A的伴随是否正定呢?也就是A*的特征值是否也都>0呢?
考虑Aa=λa ,A*Aa=λA*a,|A|a/λ=A*a ,这里可看出A*的特征值为|A|/λ.因为A正定,所以|A|>0,λ>0.那么A*的特征值=|A|/λ >0.因此A*是正定的.
这说明：正定矩阵的伴随矩阵是正定的.
现在A*是正定的,那么根据这个结论,可知道(A*)*是正定的.

Answer 3

简单计算一下即可，答案如图所示