求幂级数x^n/(n+1)的和函数 （n=0，无穷）
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解：设S(x)=∑(x^n)/(n+1)。
①当x≠0、丨x丨<1时，有xS(x)=∑x^(n+1)/(n+1)。两边对x求导，有[xS(x)]'=∑x^n=1/(1-x)。两边对x从0到x积分，∴xS(x)=∫(0,x)dx/(1-x)=-ln(1-x)。∴S(x)=(-1/x)ln(1-x)。
②当x=0时，∵lim(x→0)S(x)=lim(x→0)(-1/x)ln(1-x)=1。
∴综上所述，x≠0、丨x丨<1时，原式=(-1/x)ln(1-x)、x=0时，原式=1。
供参考。
①当x≠0、丨x丨<1时，有xS(x)=∑x^(n+1)/(n+1)。两边对x求导，有[xS(x)]'=∑x^n=1/(1-x)。两边对x从0到x积分，∴xS(x)=∫(0,x)dx/(1-x)=-ln(1-x)。∴S(x)=(-1/x)ln(1-x)。
②当x=0时，∵lim(x→0)S(x)=lim(x→0)(-1/x)ln(1-x)=1。
∴综上所述，x≠0、丨x丨<1时，原式=(-1/x)ln(1-x)、x=0时，原式=1。
供参考。
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