已知实数x y z满足x+y+z=1,x²+y²+z²=3,则z的最大值是多少

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晴天雨丝丝
2018-06-23 · TA获得超过1.2万个赞
知道大有可为答主
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x+y=1-z ①
x²+y²=3-z² ②
①²-②,再两边除以2,得
ⅹy=z²-z-1 ③
由①、③知,x、y是
下面方程的根
t²+(z-1)t+(z²-z-1)=0.
判别式△≥0,即
(z-1)²-4(z²-z-1)≥0
∴3z²-2z-5≤0
解得,-1≤z≤5/3.
故所求
最大值为5/3,最小值为-1。
取最大值时,代回知,
此时,x=y=-1/3。
同理可得,x=y=1时,
所求最小值为-1。
追答
还可以用均值不等式法、柯西不等式法,当然还可以用高数中的拉格朗日乘数法。
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