Question

求微分方程的通解

Answer 1

Answer 2

令y'=p，则y''=dp/dx=dp/dy*dy/dx=p*dp/dy

代入原式，yp*dp/dy-p^2-1=0
yp*dp/dy=p^2+1
∫p*dp/(p^2+1)=∫dy/y
(1/2)*ln(p^2+1)=ln|y|+A
ln(p^2+1)=ln(y^2)+A
p^2+1=A*y^2，其中A是大于0的任意常数
y'^2=A*y^2-1
y'=±√(A*y^2-1)
∫dy/√(y^2-1/A)=±∫√Adx
ln|y+√(y^2-1/A)|=±√A*x+B

y+√(y^2-1/A)=B*e^(±√A*x)，其中B是任意非零常数
y^2-1/A=B^2*e^(±2√A*x)-2By*e^(±√A*x)+y^2
y=[B^2*e^(±2√A*x)+1/A]/[2B*e^(±√A*x)]
=(B/2)*e^(±√A*x)+(1/2AB)*e^(∓√A*x)
令C=±√A，则y=(B/2)*e^(Cx)+(1/2BC^2)*e^(-Cx)，其中B、C都是非零常数

Answer 3

Answer 4