Question

已知函数f(x)是定义在【-1,1】上的奇函数,且f(1)=1,若m,n属于【-1，1】，m+n不等于0时，有{f(m)+f(n)}/m+n

已知函数f(x)是定义在【-1,1】上的奇函数,且f(1)=1,若m,n属于【-1，1】，m+n不等于0时，有{f(m)+f(n)}/m+n>0
1.解不等式f(x+1/2)<f(1-x)
2.若f(x)小于等于t^2-2at+1对所有a属于【-1，1】，x属于【-1，1】恒成立，求实数t的取值范围。

Answer 1

1、要判断奇函数f(x)的单调性。可以用的条件只有{f(m)+f(n)}/m+n>0
由{f(m)+f(n)}/m+n>0知f(m)+f(n)与m+n同号。设m+n>0即m>-n,f(m)+f(n)>0
推出f(m)>-f(n)=f(-n) (奇函数的性质）因此f(x)在定义域内单调递增。
这样就好办了。
f(x+1/2)<f(1-x) 推出x+1/2<1-x x<1/4.另外别忘了x+1/2和1-x都要在定义域内。即-1<=x+1/2<=1;-1<=1-x<=1 所以最终不等式的解集是0<=x<1/4
2、f(x)<=t^2-2at+1对所有a属于【-1，1】，x属于【-1，1】恒成立（恒成立问题经常转化成最值问题）
等价于fmax(x)<=t^2-2at+1.由第一问知f(x)是增函数，所以fmax(x)=f(1)=1
所以有t^2-2at+1>=1 t^2-2at>=0 t^2>=2at 下面就要对t进行讨论了
当t=0时，上式显然成立；当t>0时，t>=2a 恒成立 t>=2; 当t<0时，t<=2a恒成立 t<=-2
综上所述，t 的取值范围是t<=-2 ,t=0或 t>=2