Question

函数f：｛1，2，3｝——｛1，2，3｝满足f[f（x)]=f(x),则这样的函数共有（ ）它的解析是：

Answer 1

f[f(x)]=f(x)
则就是：f(x)=x
现在的问题就是映射的问题。
f：A→B，A中的每一个元素在B中都有唯一的元素与之对应，显然B中的某些元素可能没有原像。所有原像的集合就是A，是函数f的定义域，所有像的集合就是值域，显然值域是B的一个非空子集。
题目中，没有说第二个{1，2，3}是值域，那么其中的某些元素没有原像。而第一个{1，2，3}是原像集合，每一个元素都有像与之对应，因此分类讨论的基准就是第二个{1，2，3}哪些元素有原像。
【1】{1，2，3}只有一个元素有原像，比如说1有原像，2.3没有原像。那么就是{1，2，3}→{1}，那么满足f(x)=x的有f(1)=1；当然也可以只有2或者3只有原像，因此这是三对一（三个原像对应一个像）情况，这样的函数有3个。
【2】{1，2，3}1和2有原像，{1，2，3}→{1，2}这样就是三对二的映射，满足函数的有f(1)=1,f(2)=2；当然也可以是1，3或2，3有原像，因此此时有6个这样的函数。
【3】{1，2，3}全部有原像，即他就是值域，{1，2，3}→{1，2，3}，只能是这样的映射{1}→{1}，{2}→{2}，{3}→{3}只有一个这样的函数。【注意：这里f(1)=1,f(2)=2,f(3)=3,三个函数表达式，是一个函数，不是三个函数】
计算函数个数的时候由映射关系来确定。

Answer 2

1.f(1)=f(2)=f(3)=1或2或3，共3个
也就是f(x)=a(a=1,2,3)
2.假设f(1)=3,
那么f(f(x))=f(f(1))=f(f(3))=3
些时f(2)=2也可以
假如f(2)=1,那么1=f(1)=f(f(2))=f(1)=3,1不等于3,所以这个不行
本来f(f(x))=f(f(1))=f(f(3))=1时
那么f(2)=1也行,但f(1)=f(2)=f(3)=1在(1)已经算了一个了.
所以f(2)=2;f(1)=f(3)=1或3，共2个。
3、同理f(3)=3;f(1)=f(2)=1或2，共2个。
4、同理f(1)=1;f(2)=f(3)=2或3，共2个。
5、f(1)=1;f(2)=2;f(3)=3;1个,也就是f(x)=x
所以这样的函数共有10个。

Answer 3

考虑
值域
有多少个元素得到对应：
若是3个，则得到f(x)
=
x
若是2个，则
f(1)
=
1,f(2)
=
3,f(3)
=
3;
f(1)
=
1,f(2)
=
1,f(3)
=3;
f(1)
=
1,f(2)
=
2,f(3)
=
2;
f(1)
=
1,f(2)
=
2,f(3)
=
1
f(1)
=
2,f(2)
=
2,f(3)
=
3;
f(1)
=
3,f(2)
=
2,f(3)
=
3;
若是1个，则f(1)
=
f(2)
=
f(3)
=
1,这样的函数有3个。f(1)
=
f(2)
=
f(3)
=
2，f(1)
=
f(2)
=
f(3)
=
3
所以总共10个