Question

利用定积分求旋转体体积的问题，如图所示。求解题思路及草图

图3是答案，说实话，不是很明白公式为什么这么写；如果把公式中的y和x的位置对调，不知道可以吗？以及答案中的第一行的最后，为什么是 d cosθ ，而不是dθ ？

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Answer 1

其实就是在求旋转体体积的定积分公式中，进行了变量替换，只不过新的变量没用t表示而用θ表示了而已。当然，由于被积函数中含有y，所以所作代换不是通常的一个简单的x＝φ(t)，而是用一组（两个）方程x＝a(1+cosθ)cosθ、y＝a(1+cosθ)sinθ给出的。
计算体积V时，其中的y就用上述后一个方程代替即可，而dx则要由第一个方程去计算。这么做了，题主就不会有疑问了。

追问

dx我就是用第一个方程去做，可是算出来的结果和答案不一样

就是图3红色水性笔标注的那一地方 不一样

追答

如果不考虑别的因素，求x的微分是
dx＝-asinθ(1+2cosθ)dθ（注意前面有负号！）。
但若考虑到被积函数实际是cosθ的函数，求x的微分时就不要 求到自变量的微分dθ，而求到cosθ的微分d(cosθ)会更好。这时
dx＝d[a(1+cosθ)cosθ]
＝acosθd(1+cosθ)+a(1+cosθ)d(cosθ)
＝acosθd(cosθ)+a(1+cosθ)d(cosθ)
＝a(1+2cosθ)d(cosθ).
求到这一步如果令cosθ＝t（其实不用真引入新变量，只要想着cosθ是一个整体就够！），积分就会变成t的多项式的积分了