Question

考研线代问题：设α1,α2,…αs和β1,β2,…βt使两个n维实向量组,并且其中每个αi,和每个βj都正交

设α1,α2,…αs和β1,β2,…βt使两个n维实向量组,并且其中每个αi,和每个βj都正交,证明r(α1,α2,…αs ;β1,β2,…βt)=r(α1,α2,…αs)+r(β1,β2,…βt)

Answer 1

如果两个向量组里至少有一个向量组中都是零向量，容易证明结论成立，故假设两个向量组中都不全是零向量，即两个向量组的秩都大于零，设αi1,...,αik是第一组的极大无关组，βj1,...,gjl是第二组的极大无关组，则两个向量组的秩分别是k和l,并且由内积的线性性质可得每个αie与每个βjf都正交，用施密特正交化方法将两个极大无关组分别正交化得ξi1,...,ξik;ηj1,...,ηjl,两组之间向量的正交性仍保持，这k+l个向量是一个大的正交向量组从而是线性无关的，按照极大无关组与原向量组的关系(等价即可以相互表示)和正交化得到的向量组与原向量组等价的结论知这个正交向量组与原始两个向量组组成的向量组等价，故秩相等，即r(α1,...,as;β1,...,βt)=r(ξi1+...+ξik+ηj1+...+ηjl)=k+l=r(a1,...,αs)+r(β1,...,βt)。

Answer 2