拉格朗日中值定理证明中的问题
证明如图,但在1式中,移项后整个式子等于0,那么在构造2式函数F(x)时,整个F(x)也应该=0,这样F(x)不就恒等于0,那还怎0么证明后面的式子?...
证明如图,但在1式中,移项后整个式子等于0,那么在构造2式函数F(x)时,整个F(x)也应该=0,这样F(x)不就恒等于0,那还怎0么证明后面的式子?
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6个回答
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你题目要证明什么?感觉有问题,第一步到第二步怎么从一个特定的kesai变为f(x)=[f(b)-f(a)]/(b-a)了?如果第一步到第二步成立,也不需要拉格朗日中值定理了,都线性函数了还要那么麻烦?
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把kesai化为x再证明是教材上的拉格朗日证明过程,为什么第一步到第二部成立就不用了?
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你题目到底要证明什么?题目是啥?
不是不用,而是在绝大部分情况下,第一步到第二步都不成立!所以要看你题目是啥
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为了能帮助许多读者真正了解拉格朗日中值定理的证明过程,并从证明过程中真正收益,本回答(主要是后面的注)会显得很冗长。希望读者能耐心细读,并结合叙述画草图以帮助理解清楚。
题主写的是一个分析如何才能证明拉格朗日中值公式的过程。
事实上,第二行是想借助的式子(即如果能有这个式子,那么把x换成ξ就得要证的结果),并不是对一切x都成立的等式。自然①式也不是对一切x都成立的恒等式。
注:
这种方法不论是老师课上讲的或者教科书里写的,都是试图在展示新的证明方法。但其实这与原始的证明方法本质上没有区别,却在冒丢掉原始方法的经典之处的风险!
为了证明拉格朗日中值定理,需要把这一定理产生的背景搞清楚。
一个简单但却十分重要的事实是:经过几何观察发现,对于满足罗尔定理三个条件的f(x),所谓至少有一点ξ使得f'(ξ)=0,本质上是说在(a,b)内至少有一点ξ,使得曲线y=f(x)上过点(ξ,f(ξ))的切线平行于过该曲线上两个点(a,f(a))、(b,f(b))的弦。
拉格朗日正是注意到了这个重要事实,才觉得既然是曲线上的切线平行于弦,罗尔定理的第三个条件就可以去掉。也就是说,将曲线连同弦旋转一个角度(不再要求弦处于水平位置),一样也会在(a,b)内至少存在一点ξ,使得曲线上过点(ξ,f(ξ))的切线平行于弦。进而切线的斜率与弦的斜率相等,即有
f'(ξ)=[f(b)-f(a)]/(b-a). ①
了解了上述拉格朗日中值定理产生的背景之后,证明这个定理就不太难了。
事实上,由于上述①是由罗尔定理去掉了第三个条件后得出的,所以要证明①,就要创造条件使罗尔定理的条件被满足。注意到在两点(a,f(a))、(b,f(b))处曲线的纵坐标与弦的纵坐标相等,所以如果设新函数F(x)为曲线方程对应的纵坐标函数与弦对应的纵坐标函数的差,则F(a)=F(b)=0,罗尔定理的第三个条件被满足,而F(x)满足罗尔定理的前两个条件是显然的。因此令
F(x)=f(x)-{f(a)+[f(b)-f(a)]/(b-a) (x-a)}.
则罗尔定理的三个条件被满足,故在(a,b)内至少有一点ξ,使得F'(ξ)=0.即f'(ξ)=[f(b)-f(a)]/(b-a).
题主写的是一个分析如何才能证明拉格朗日中值公式的过程。
事实上,第二行是想借助的式子(即如果能有这个式子,那么把x换成ξ就得要证的结果),并不是对一切x都成立的等式。自然①式也不是对一切x都成立的恒等式。
注:
这种方法不论是老师课上讲的或者教科书里写的,都是试图在展示新的证明方法。但其实这与原始的证明方法本质上没有区别,却在冒丢掉原始方法的经典之处的风险!
为了证明拉格朗日中值定理,需要把这一定理产生的背景搞清楚。
一个简单但却十分重要的事实是:经过几何观察发现,对于满足罗尔定理三个条件的f(x),所谓至少有一点ξ使得f'(ξ)=0,本质上是说在(a,b)内至少有一点ξ,使得曲线y=f(x)上过点(ξ,f(ξ))的切线平行于过该曲线上两个点(a,f(a))、(b,f(b))的弦。
拉格朗日正是注意到了这个重要事实,才觉得既然是曲线上的切线平行于弦,罗尔定理的第三个条件就可以去掉。也就是说,将曲线连同弦旋转一个角度(不再要求弦处于水平位置),一样也会在(a,b)内至少存在一点ξ,使得曲线上过点(ξ,f(ξ))的切线平行于弦。进而切线的斜率与弦的斜率相等,即有
f'(ξ)=[f(b)-f(a)]/(b-a). ①
了解了上述拉格朗日中值定理产生的背景之后,证明这个定理就不太难了。
事实上,由于上述①是由罗尔定理去掉了第三个条件后得出的,所以要证明①,就要创造条件使罗尔定理的条件被满足。注意到在两点(a,f(a))、(b,f(b))处曲线的纵坐标与弦的纵坐标相等,所以如果设新函数F(x)为曲线方程对应的纵坐标函数与弦对应的纵坐标函数的差,则F(a)=F(b)=0,罗尔定理的第三个条件被满足,而F(x)满足罗尔定理的前两个条件是显然的。因此令
F(x)=f(x)-{f(a)+[f(b)-f(a)]/(b-a) (x-a)}.
则罗尔定理的三个条件被满足,故在(a,b)内至少有一点ξ,使得F'(ξ)=0.即f'(ξ)=[f(b)-f(a)]/(b-a).
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2019-10-03
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把整个题目和你写的整个答案发过来
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这里只是方便书写。实际上第一次求原函数时有一个常数c被省略了
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那整个式子也等于一个常数?什么意思?
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