Question

用换元法求定积分

第九题，十一题

Answer 1

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原发布者:shikue
一、换元公式定理假设上连续；（1）f(x)在[a,b]上连续；有连续导数；（2）函数x=ϕ(t)在[α,β]上有连续导数；上变化时，（3）当t在区间[α,β]上变化时，x=ϕ(t)的值在[a,b]上变化，且ϕ(α)=a、ϕ(β)=b，上变化，则有∫af(x)dx=∫αf[ϕ(t)]ϕ′(t)dt.bβ证的一个原函数，设F(x)是f(x)的一个原函数，∫af(x)dx=F(b)−F(a),∵Φ(t)=F[ϕ(t)],bdFdxΦ′(t)=⋅=f(x)ϕ′(t)=f[ϕ(t)]ϕ′(t),dxdt的一个原函数.∴Φ(t)是f[ϕ(t)]ϕ′(t)的一个原函数β∫αf[ϕ(t)]ϕ′(t)dt=Φ(β)−Φ(α),ϕ(α)=a、ϕ(β)=b,Φ(β)−Φ(α)=F[ϕ(β)]−F[ϕ(α)]=F(b)−F(a),∫af(x)dx=F(b)−F(a)=Φ(β)−Φ(α)b=∫f[ϕ(t)]ϕ′(t)dt.αβα意当>β时换公仍立注，元式成.应用换元公式时应注意:应用换元公式时应注意（1）用x=ϕ(t)把变量x换成新变量t时，积分限也）相应的改变.相应的改变（2））求出f[ϕ(t)]ϕ′(t)的一个原函数Φ(t)后，不必象计算不定积分那样再要把Φ(t)变换成原的函数，的上、变量x的函数，而只要把新变量t的上、下限然后相减就行了.分别代入Φ(t)然后

Answer 2

9. I = ∫<0, 1>sin(e^x)d(e^x) = -[cos(e^x)]<0, 1> = cos1 - cose
11. 1+√x = u, x = (u-1)^2, dx = 2(u-1)du
I = 2∫<1, 3>[(u-1)/u]du = 2∫<1, 3>(1-1/u)du = 2[u-lnu]<1, 3>
= 2(3-ln3-1) = 2(2-ln3)

Answer 3