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令ψ²=x，2ψdψ=dx
当x=0，ψ=0 // 当x=1，ψ=1
∫(0到1)x^(3/2) / (1+x) dx
= 2∫(0到1) ψ⁴/(1+ψ²) dψ
= 2∫(0到1) ψ²[(ψ²+1)-1]/(1+ψ²) dψ
= 2∫(0到1) ψ² dψ - 2∫(0到1) [(ψ²+1)-1]/(1+ψ²) dψ
= (2/3)ψ³[0到1] - 2∫(0到1) dψ + 2∫(0到1) 1/(1+ψ²) dψ
= (2/3) - 2ψ[0到1] + 2arctanψ[0到1]
= (2/3) - 2 + 2[arctan1 - arctan0]
= π/2 - 4/3
当x=0，ψ=0 // 当x=1，ψ=1
∫(0到1)x^(3/2) / (1+x) dx
= 2∫(0到1) ψ⁴/(1+ψ²) dψ
= 2∫(0到1) ψ²[(ψ²+1)-1]/(1+ψ²) dψ
= 2∫(0到1) ψ² dψ - 2∫(0到1) [(ψ²+1)-1]/(1+ψ²) dψ
= (2/3)ψ³[0到1] - 2∫(0到1) dψ + 2∫(0到1) 1/(1+ψ²) dψ
= (2/3) - 2ψ[0到1] + 2arctanψ[0到1]
= (2/3) - 2 + 2[arctan1 - arctan0]
= π/2 - 4/3
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paykka
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