Question

用换元法求定积分

Answer 1

我们知道求定积分可以转化为求原函数的增量，在前面我们又知道用换元法可以求出一些函数的原函数。因此，在一定条件下，可以用换元法来计算定积分。
定理：设函数f(x)在区间[a,b]上连续；函数g(t)在区间[m,n]上是单值的且有连续导数；当t在区间[m,n]上变化时，x=g(t)的值在[a,b]上变化，且g(m)=a,g(n)=b；则有定积分的换元公式:
例题:计算
解答:设x=asint,则dx=acostdt,且当x=0时，t=0；当x=a时，t=π/2.于是：
注意：在使用定积分的换元法时，当积分变量变换时，积分的上下限也要作相应的变换。
定积分的分部积分法
计算不定积分有分部积分法，相应地，计算定积分也有分部积分法。
设u(x)、v(x)在区间[a,b]上具有连续导数u'(x)、v'(x)，则有(uv)'=u'v+uv',分别求此等式两端在[a,b]上的定积分，并移向得：
上式即为定积分的分部积分公式。
例题：计算
解答：设，且当x=0时，t=0；当x=1时，t=1.由前面的换元公式得：
再用分部积分公式计算上式的右端的积分。设u=t,dv=etdt,则du=dt,v=et.于是：
故：

Answer 2

I=∫(t=-1/2，1)f(t)dt
=∫(t=1/2，1)1/t^2dt+∫(t=-1/2，1/2)t^3*e^(t^4+1)dt
=-1/t|(t=1/2，1)+(1/4)*e^(t^4+1)|(t=-1/2，1/2)
=-1+1/2+0
=-1/2
拆开的两个积分中，前面一个是瑕积分，后面一个积分，其实用不着算，因为f(x)在闭区域内[-1/2，1/2]是奇函数，所以这个积分一定是为零，