Question

怎么区分可分离变量、齐次方程和线性方程

Answer 1

形如f(x)g(y)dx=d(x)e(x)dy的方程
叫做可
分离变量
微分方程。齐次的没有常数项，就是AX=0，非齐次的有常数项，就是AX=B。楼主正解
形如y''+py'+qy=0的方程称为“齐次线性方程”，这里“齐次”是指方程中每一项关于未知函数y及其导数y',y'',……的次数都是相等的（都是一次），而方程y''+py'+qy=x就不是“齐次”的，因为方程右边的项x不含y及y的导数，是关于y,y',y'',……的0次项，因而就要称为“非齐次线性方程”。齐次线性方程组：常数项全部为零的线性方程组
例如
x+y+z=0;2x+y+3z=0;
4x-y+3z=0;
又称“联立方程”。

Answer 2

1、可分离变量的方程
经简单变形后，等式左边只出现变量y（没有x），等式右边只出现x（没有y），故名“可分离变量的方程”
2、齐次方程
可变形为
y'=φ(y/x)，若将y换成x、2x等，则右式变为常数。
右式称为齐次函数，故名“齐次方程”
3、一阶线性微分方程
形如
y'+p(x)y=q(x)，
如果写作y'+p(x)y-q(x)＝0，再将x换成常数，则左式为y'和y的线性函数
由于不含二阶以上导数，因此称“一阶”
综上，故名“一阶线性微分方程”
4、可降阶的高阶方程
阶是指导数的阶数，含二阶以上导数的称高阶方程。
如二阶方程y"=2y’，将2y’换成u，则方程变为u'=2，降为一阶方程。
这就是“可降阶的高阶方程”
5、线性微分方程
线性是指线性函数，如a1x1+a2x2+…+anxn+a0就是x1,x2,…,xn的线性函数。
例如二阶线性微分方程形如y"+p1(x)y'+p2(x)y-f(x)=0
如果将x换成常数，则左式变为y",y',y的线性函数。