Question

已知偶函数y=f（x）满足：当x≥2时，f（x）=（x-2）（a-x），a∈R，...

已知偶函数y=f（x）满足：当x≥2时，f（x）=（x-2）（a-x），a∈R，当x∈[0，2）时，f（x）=x（2-x） （1）求当x≤-2时，f（x）的表达式； （2）若直线y=1与函数y=f（x）的图象恰好有两个公共点，求实数a的取值范围． （3）试讨论当实数a，m满足什么条件时，函数g（x）=f（x）-m有4个零点且这4个零点从小到大依次成等差数列．

Answer 1

解：（1）设x≤-2，则-x≥2，∴f（-x）=（-x-2）（a+x）
又∵偶函数∴f（x）=f（-x）f（x）=（x+a）（-x-2）（2分）
（2）（Ⅰ）a＞2时x≥2，f（x）=（x-2）（a-x）
f(x)max=f(1+a2)=(a2-1)2（3分）
∴(a2-1)2＜1∴0＜a＜4∴2＜a＜4
（Ⅱ）a≤2时，都满足
综上，所以 a＜4（2分）
（3）f（x）=m零点x1，x2，x3，x4，y=f（x）与y=m交点4个且均匀分布
（Ⅰ）a≤2时x1+x2=-22x2=x1+x3x2+x3=0得x1=3x2，x1=-32，x2=-12，x3=12，x4=32（2分）
m=34
（Ⅱ）2＜a＜4时，m=34时
且(a2-1)2＜34-3+2＜a＜3+2（2分）
所以 2＜a＜3+2时，m=34
（Ⅲ）a=4时m=1时 （1分）
（IV）a＞4时，m＞1x3+x4=2+a2x3=x2+x4x2=-x3⇒x4=2+a4，m=(2+a4-2)(a-2+a4)=3a2-20a+1216
此时1＜m＜(a2-1)2
所以 a＞10+473ora＜10-473（舍）a＞4且a＞10+473时，m=3a2-20a+1216时存在 （2分）
综上：
①a＜2+3时，m=34
②a=4时，m=1
③a＞10+473时，m=3a2-20a+1216符合题意（1分）