Question

如图所示，在△ABC中，E,F,分别是AB,AC上的点，1AD平分∠BAC，2DE⊥AB，DF垂直 AC，3AD⊥EF

Answer 1

1）①②⇒③，正确；①③⇒②，错误，不符合三角形的判定；②③⇒①，正确
（2）先证①②⇒③．如图．
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，AD=AD，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF．
∴DE=DF，∠ADE=∠ADF．
设AD与EF交于G，则△DEG≌△DFG，
∴∠DGE=∠DGF．
∴∠DGE=∠DGF=90°．
∴AD⊥EF．
再证②③⇒①．
设AD的中点为O，连接OE，OF，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴OE，OF分别是Rt△ADE，Rt△ADF斜边上的中线．
∴OE=
1
2
AD，OF=
1
2
AD．
即点O到A、E、D、F的距离相等．
∴四点A、E、D、F在以O为圆心，
1
2
AD为半径的圆上，AD是直径．
∴EF是⊙O的弦．
∵EF⊥AD，
∴∠DAE=∠DAF．
即AD平分∠BAC