Question

如图,△ABC中,E、F分别是AB、AC、上的点。①AD平分∠BAC：②DE⊥AB：DF⊥AC；③AD⊥EF。以此三个中的两个

.......条件，另外一个为结论，可构成三个命题，即①②→③，①③→②，②③→①.
（1）试判断上述三个命题是否正确（直接作答）
（2）请证明你认为正确的命题.

Answer 1

（1）
①②→③正确，①③→②错误，②③→①正确。

（2）
①②→③证明如下：
在△ADE和△ADF中，
∠AED = 90°= ∠AFD ，∠DAE = ∠DAF ，AD为公共边，
可得：△ADE ≌ △ADF ，
则有：AE = AF 。
等腰△AEF顶角平分线AD和底边EF垂直，
即：AD⊥EF 。

②③→①证明如下：
在Rt△ADE中，EG是斜边上的高，由射影定理可得：EG^2 = AG·DG ；
在Rt△ADF中，FG是斜边上的高，由射影定理可得：FG^2 = AG·DG ；
所以，EG = FG ，而且，AG⊥EF，
可得：AD是EF的垂直平分线，就有：AE = AF 。
等腰△AEF底边EF上的高AG平分顶角∠BAC ，
即：AD平分∠BAC。

Answer 2

解，由①②证明③
已知：在△ABC中E F分别是AB AC上的点，①AD平分∠BAC，②DE⊥AB ， DF⊥AC
求证：③AD⊥EF
证明：
因为AD平分∠BAC，
所以∠BAD=∠CAD,
又DE⊥AB ， DF⊥AC
所以∠AED=∠AFD=90,
又AD是公共边
所以△ADE≌△ADF(AAS)
所以AE=AF,DE=DF
所以AD是EF的垂直平分线，（到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上）
所以AD⊥EF

Answer 3

①②→③正确，①③→②错误，②③→①正确。
①②→③证明如下：
在△ADE和△ADF中，
∠AED = 90°= ∠AFD ，∠DAE = ∠DAF ，AD=ad
可得：△ADE ≌ △ADF (aas)，
则有：AE = AF 。
即：AD⊥EF 。

Answer 4

①②→③:
AD平分∠BAC ∠BAD=∠DAC; DE⊥AB，DF⊥AC,∠AED=∠AFD=90,AD为公共边
△ADE全等于△ADF
得 AE=AF 令EF交AD于G
有△AGE全等于△AGF
∠AGE=∠AGF=90
所以 AD⊥EF