Question

已知x、y、z都是非负实数，且x＋y＋z＝1．

Answer 1

证明：因为不等式(1)关于x,y,z全对称,所以,不妨设x>=y>=z．

(a)
当y=z=0时,x=1,不等式(1)显然成立．

(b)
当z=0,xy>0时,x+y=1,

x
(1-2x)
(1-3x)
+y
(1-2y)
(1-3y)
+z
(1-2z)
(1-3z)

=x
(1-2x)
(1-3x)
+y
(1-2y)
(1-3y)

=x
(y-x)
(1-3x)
+y
(x-y)
(1-3y)

=
(x-y)
[y
(1-3y)
-x
(1-3x)
]

=
(x-y)
[(y-x)
-3
(y
2
-x
2
)
]

=(x-y)
2

[3
(x+y)
-1]

=2(x-y)
2

>=
0．

(c)
当xyz>0时,

x
(1-2x)
(1-3x)
+y
(1-2y)
(1-3y)
+z
(1-2z)
(1-3z)

=x
(1-2x)
[(y-x)
+
(z-x)
]

+y
(1-2y)
[(z-y)
+
(x-y)
]

+z
(1-2z)
[(x-z)
+
(y-z)
]

=
(x-y)
[y
(1-2y)
-x
(1-2x)
]

+
(y-z)
[z
(1-2z)
-y
(1-2y)
]

+
(x-z)
[z
(1-2z)
-x
(1-2x)
]

=
(x-y)
[(y-x)
-2
(y
2
-x
2
)
]

+
(y-z)
[(z-y)
-2
(z
2
-y
2
)
]

+
(x-z)
[(z-x)
-2
(z
2
-x
2
)
]

=(x-y)
2

[-1+2
(y+x)
]

+(y-z)
2

[-1+2
(z+y)
]

+(x-z)
2

[-1+2
(z+x)
]

=(x-y)
2

(1-2z)
+(y-z)
2

(1-2x)
+(x-z)
2

(1-2y)
(2)

xyz,x+y+z=1,

x-zy-z0,1-2z1-2y0,

于是
(2)式的右边
(y-z)
2

(1-2x)
+(y-z)
2

(1-2y)

=(y-z)
2

[(1-2x)
+
(1-2y)
]
=2(y-z)
2

[1-
(x+y)
]

=2z(y-z)
2
0．
(3)

由(2)、(3)两式知,不等式(1)成立．

综上所述,对于非负实数x,y,z,不等式(1)恒成立．由对称性可知,等号成立的条件为：x=y=

1
2
,z=0；或y=z=

1
2
,x=0；或z=x=

1
2
,y=0；或x=y=z=

1
3
．

Answer 2

非负
相加=1
xyz都介于0到1之间

所以一次三项式各项都等于零时等号成立

即0
0.5
1/3

0
一式不成立
1/3成立

条件是当且仅当X=Y=Z=1/3式，等取等