Question

求曲线y=x^2与x=1,y=0所围图形分别绕x轴和y轴旋转所得旋转体的体积

Answer 1

y=x^2和x=1相交于（1，1）点，
绕X轴旋转所成体积V1=π∫（0→1）y^2dx
=π∫（0→1）x^4dx
=πx^5/5(0→1)
=π/5.
绕y轴旋转所成体积V2=π*1^2*1-π∫（0→1）(√y)^2dy
=π-πy^2/2（0→1）
=π/2.
其中π*1^2*1是圆柱的体积，而π∫（0→1）(√y)^2dy是抛物线y=x^2、y=1、x=0围成的图形绕Y轴旋转的体积。

Answer 2

解：联立方程组
x=2
y=x^3
解得两曲线的交点(2,8)
所围成的平面图形绕y轴旋转的旋转体体积为
v
=
∫(0,8)
π[2^2
-
[(³√y)^2]
dy
=
π{4y
-
3[y^(5/3)]/5}|(0,8)
=
64π/5
解题说明：(0,8)表示以0为下限，8为上限的积分区间；
解题思路：可看成大的旋转体中挖去一个小的旋转体，类似于中学接触过的圆柱体中挖掉一个圆锥体。