Question

求f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)单调性

Answer 1

已知函数f(x)满足f(x)f(y)
=
f(x+y)+f(x-y),
判断f(x)的单调性?
大概是看错题了吧,
也许原题是判断奇偶性?
容易证明其为偶函数:
在条件中取y
=
0,
得f(x)f(0)
=
2f(x).
若f(x)
=
0恒成立,
其显然为偶函数.
若f(x)不恒为0,
则f(0)
=
2.
在条件中取x
=
0,
得2f(y)
=
f(0)f(y)
=
f(y)+f(-y),
即f(y)
=
f(-y).
同样有f(x)为偶函数.
f(x)作为一个偶函数,
除非为常值函数,
否则其不可能在全体实数上单调.
实际上,
容易验证f(x)
=
2cos(ax)满足题目条件,
其中a可取任意实数.
因此满足条件的f(x)没有任何确定的单调区间.
如果假设f(x)具有一定的光滑性,
例如二阶可导.
可以求出满足条件且不恒为0的通解:
f(x)
=
(e^(ax)+e^(-ax))·cos(bx).
其中a,
b可取任意实数.
除了奇偶性能够确定外,
单调性,
周期性,
有界性等都是不能确定的.