Question

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为32，过焦点且垂直于长...

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为32，过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为1，过点M（3，0）的直线与椭圆C相交于两点A，B （1）求椭圆C的方程； （2）设 P为椭圆上一点，且满足OA+OB=tOP（O 为坐标原点），当|AB|=3 时，求实数t的值．

Answer 1

解：（1）由已知e=ca=32，所以c2a2=34，
又c2=a2-b2，
所以a2=4b2，c2=3b2，所以椭圆方程为x24b2+y2b2=1．
又由过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为2b2a=1．
所以b=1．
所以椭圆C的方程为x24+y2=1；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y）
设AB：y=k（x-3），与椭圆联立得y=k(x-3)x24+y2=1，
整理得（1+4k2）x2-24k2x+36k2-4=0，
由△=242k4-16（9k2-1）（1+4k2）＞0，得k2＜15．
x1+x2=24k21+4k2，x1x2=36k2-41+4k2．
由OA+OB=tOP，得
OA+OB=(x1+x2，y1+y2)=t(x，y)，
所以
x=1t(x1+x2)=24k2t(1+4k2)，
y=1t(y1+y2)=1t[k(x1+x2)-6k]=-6kt(1+4k2)．
由点P在椭圆上得，(24k2)2t2(1+4k2)2+144k2t2(1+4k2)2=4，整理得36k2=t2（1+4k2）．
又由|AB|=3，
所以|AB|=1+k2|x1-x2|=3．
所以（1+k2）（x1-x2）2=3，
（1+k2）[（x1+x2）2-4x1x2]=3，
(1+k2)[242k4(1+4k2)2-4(36k2-4)1+4k2]=3．
整理得：（8k2-1）（16k2+13）=0．
所以8k2-1=0，k2=18．
由36k2=t2（1+4k2），得t2=36k21+4k2=9-91+4k2．
所以t2=9-91+4×18=3．
则t=±3．