Question

给定双曲线x＾2－y＾2／2 ＝1． 过点A（2，,1）的直线与双曲线交于P1、P2，求线段P1P2的中点P的轨迹方程。

Answer 1

设P1(x1,y1),P2(x2,y2),
线段P1P2的中点P(x,y),
则x1＾2－y1＾2／2
＝1，,2＾2－y2＾2／2
＝1，
两式相减得：(x1+x2)(x1-x2)-(y1+y2)(y1-y2)/2=0,
∵x1+x2=2x,y1+y2=2y,
∴2x(x1-x2)-
2y(y1-y2)/2=0,
(y1-y2)/
(x1-x2)=2x/y.这就是直线P1P2的斜率。
又因直线过点A（2,1），及中点P(x,y),
所以直线的斜率还可表示为(y-1)/(x-2),
综上可知2x/y与(y-1)/(x-2)
都表示直线P1P2的斜率，
所以2x/y=(y-1)/(x-2)，
化简得：2x^2-y^2-4x+y=0,
这就是线段P1P2的中点P的轨迹方程。