Question

△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若∠C=90°

△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若∠C=90°，如图（1），根据勾股定理，则a的平方+b的平方=c的平方，若△ABC不是直角三角形，如图（2）和图（3）请你类比勾股定理，试猜想a的平方+b平方和c的平方的关系，并说说你的道理.

Answer 1

解：若△ABC是锐角三角形，则有a2+b2＞c2（1分）
若△ABC是钝角三角形，∠C为钝角，则有a2+b2＜c2．（2分）
当△ABC是锐角三角形时，
证明：过点A作AD⊥BC，垂足为D，设CD为x，则有BD=a-x（3分）
根据勾股定理，得b2-x2=AD2=c2-（a-x）2
即b2-x2=c2-a2+2ax-x2．
∴a2+b2=c2+2ax（5分）
∵a＞0，x＞0，
∴2ax＞0．
∴a2+b2＞c2．（6分）
当△ABC是钝角三角形时，
证明：过B作BD⊥AC，交AC的延长线于D．
设CD为x，则有BD2=a2-x2（7分）
根据勾股定理，得（b+x）2+a2-x2=c2．
即a2+b2+2bx=c2．（9分）
∵b＞0，x＞0，
∴2bx＞0，
∴a2+b2＜c2．（10分）