Question

求x+y的二重积分，其中D={（x,y）|x^2+y^2≤1}

rt

Answer 1

在D上被积函数分块表示max{x2，y2}＝x2，x≥y
y2，x≤y
(x，y)∈D，于是要用分块积分法，用y=x将D分成两块：D=D1∪D2，D1=D∩{y≤x}，D2=D∩{y≥x}．
I＝∫∫
D1
emaxx2，y2dxdy+∫∫
D2
emaxx2，y2dxdy=∫∫
D1
ex2
dxdy+∫∫
D2
ey2dxdy＝2∫∫
D1
ex2dxdy
=2∫1
0
dx∫x
0
ex2dy=2∫1
0
xex2dx＝ex2|_1＝e?1．

Answer 2

极坐标变量替换：x=rcosa，y=rsina，0<=a<=pi/2，1/(sina+cosa)<=r<=1，
原式=积分（从0到pi/2）da
积分（从1/(sina+cosa)到1）r(cosa+sina)/r^2*
rdr
=积分（从0到pi/2）【1--1/(sina+cosa)】*（sina+cosa）da
=积分（从0到pi/2）(sina+cosa--1）da
=2--pi/2。