Question

数列{an}的前n项和记为Sn,a1=1,an+1=2Sn+1(n≥1,n∈N*...

数列{an}的前n项和记为Sn,a1=1,an+1=2Sn+1(n≥1,n∈N*),则数列{an}的通项公式是_______.  

Answer 1

an=3n-1
【解析】【思路点拨】根据an和Sn的关系转换an+1=2Sn+1(n≥1)为an+1与an的关系或者Sn+1与Sn的关系.
解:方法一:由an+1=2Sn+1可得an=2Sn-1+1(n≥2),两式相减得an+1-an=2an,an+1=3an(n≥2).
又a2=2S1+1=3,
∴a2=3a1,故{an}是首项为1,公比为3的等比数列,
∴an=3n-1.
方法二:由于an+1=Sn+1-Sn,
an+1=2Sn+1,
所以Sn+1-Sn=2Sn+1,Sn+1=3Sn+1,
把这个关系化为Sn+1+=3(Sn+),
即得数列{Sn+}为首项是S1+=,
公比是3的等比数列,故Sn+=×3n-1=×3n,
故Sn=×3n-.
所以,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n-1,
由n=1时a1=1也适合这个公式,知所求的数列{an}的通项公式是an=3n-1.
【方法技巧】an和Sn关系的应用技巧
在根据数列的通项an与前n项和的关系求解数列的通项公式时,要考虑两个方面,一个是根据Sn+1-Sn=an+1把数列中的和转化为数列的通项之间的关系;一个是根据an+1=Sn+1-Sn把数列中的通项转化为前n项和的关系,先求Sn再求an.