Question

已知{an}是公差为d的等差数列，其前n项和为Sn，{bn}是公比为q的等比数列...

已知{an}是公差为d的等差数列，其前n项和为Sn，{bn}是公比为q的等比数列，且a1=b1=3，a3=b2-2，S4=b3-3． （1）求数列{an}，{bn}的通项公式； （2）记cn=12（an-1）•bn，求数列{cn}的前n项和Tn．

Answer 1

解：（1）依题意，a3=3+2d，b2=3q，S4=(3+3+3d)×42=12+6d，b3=3q2，
即3+2d=3q-212+6d=3q2-3⇒2d=3q-56d=3q2-15，消去d，解得q=3或q=0（舍去），于是d=2，
从而有an=2n+1，bn=3×3n-1=3n…6分
（2）由（1）知，cn=12（an-1）•bn=n•3n，
所以Tn=c1+c2+…+cn=1×3+2×32+…+n•3n…7分
故有3Tn=1×32+2×33…+（n-1）•3n+n•3n+1…8分
两式相减得-2Tn=3+32+33…+3n-n•3n+1=3(3n-1)2-n×3n+1
=(1-2n)×3n+1-32…10分
化简得：Tn=3+(2n-1)×3n+14…12分