Question

设函数f(x)=3sin(2x+π3),给出四个命题:①它的周期是2π;②它的图...

设函数f(x)=3sin(2x+π3),给出四个命题:①它的周期是2π;②它的图象关于直线x=π12成轴对称;③它的图象关于点(-π3,0)成中心对称;④它在区间[-5π12,π12]上是增函数.其中正确命题的序号是( )A.①②B.①③C.②③D.②④

Answer 1

∵f(x)=3sin(2x+
π
3
),
∴T=
2π
2
=π,故①正确;
∵f(x)=3sin(2x+
π
3
)的对称轴方程满足2x+
π
3
=kπ+
π
2
,k∈Z,
解得x=
kπ
2
+
π
12
,k∈Z,
∴f(x)=3sin(2x+
π
3
)的图象关于直线x=
π
12
成轴对称,故②正确;
∵f(x)=3sin(2x+
π
3
)的对称中心是(
kπ
2
-
π
6
,0),k∈Z,
∴f(x)=3sin(2x+
π
3
)的图象关个不能关于点(-
π
3
,0)成中心对称,故③错误;
∵f(x)=3sin(2x+
π
3
)的增区间满足-
π
2
+2kπ≤2x+
π
3
≤
π
2
+2kπ,k∈Z,
解得-
5π
12
+kπ≤x≤
π
12
+kπ,k∈Z.
∴f(x)=3sin(2x+
π
3
)在区间[-
5π
12
,
π
12
]上是增函数,故④正确.
故选D.