Question

已知点P（0，5）及圆C：x2+y2+4x-12y+24=0．（1）若直线ι过P...

已知点P（0，5）及圆C：x2+y2+4x-12y+24=0． （1）若直线ι过P且被圆C截得的线段长为43，求ι的方程； （2）求过P点的⊙C的弦的中点轨迹方程．

Answer 1

解：（1）由圆C：x2+y2+4x-12y+24=0得圆心坐标为（-2，6），半径为4
又因为直线ι被圆C截得的线段长为43，所以直线ι与圆心的距离为2
当直线斜率存在时，设L的斜率是k，过P（0，5），设直线ι：y=kx+5，即kx-y+5=0
∵直线ι与圆C的圆心相距为2，∴d=|-2k-6+5|^2+1=2，解得k=34，此时直线的方程为3x-4y+20=0
当直线的斜率不存在时，直线的方程为x=0，也符合题意．
故所求直线的方程为3x-4y+20=0或x=0．（8分）
（2）设过P点的圆c的弦的中点D的坐标为（x，y），则
∵CD⊥PD，∴（x+2）•x+（y-6）•（y-5）=0
化简得所求轨迹方程为x2+y2+2x-11y+30=0．（14分）