Question

已知两点A(2,3)、B(4,1),直线l:x+2y-2=0,在直线l上求一点P...

已知两点A(2,3)、B(4,1),直线l:x+2y-2=0,在直线l上求一点P. (1)使|PA|+|PB|最小; (2)使|PA|-|PB|最大.

Answer 1

(1)可判断A、B在直线l的同侧,设A点关于l的对称点A1的坐标为(x1,y1).
则有
x1+2
2
+2•
y1+3
2
-2=0,
y1-3
x1-2
•(-
1
2
)=-1.
解得
x1=-
2
5
,
y1=-
9
5
.
由两点式求得直线A1B的方程为y=
7
11
(x-4)+1,直线A1B与l的交点可求得为P(
56
25
,-
3
25
).
由平面几何知识可知|PA|+|PB|最小.
(2)由两点式求得直线AB的方程为y-1=-(x-4),即x+y-5=0.
直线AB与l的交点可求得为P(8,-3),它使|PA|-|PB|最大.