Question

设f(x)在(a,b)内连续,且lim

设定义[a,b]上的函数f(x)在(a,b)内连续 且lim(x-a+)f(x)和lim(x-b-)f(x)存在（有限）,问f(x)在[a,b]上是否有界?是否能取得最值?
不好意思啊,

Answer 1

有界，但最值不一定取得的

例如a=1，b=2，f（x）=1/x

Answer 2

有界,考虑a的右邻域和b的左邻域内f的值,显然是有限的；f(a),f(b)有定义,故也有限；取（a,b）内一个任意大的闭区间,此闭区间内f(x)连续故有界.综合以上三点,有界.最值不一定能取到,例：f(0)=1,f(1)=1,f(x)在（0,1）上为2x,则最值为0,2,都不能取到.