Question

已知x,y,z都是实数,且x^2+y^2+z^2=1,则xy+yz+zx（）

已知x,y,z都是实数,且x^2+y^2+z^2=1,则xy+yz+zx（）
A 只有最大值 B 只有最小值 C 既有最大值又有最小值 D既无最大值又无最小值

Answer 1

解：(一）由题设可知，(x+y+z)²=x²+y²+z²+2(xy+yz+zx)=1+2(xy+yz+zx).===>2(xy+yz+zx)=(x+y+z)²-1≥-1.∴xy+yz+zx≥-1/2.等号仅当x+y+z=0时取得。∴（xy+yz+zx)min=-1/2.例如，取x=√2/2,y=-√2/2,z=0.(二）再由题设可知，(x-y)²+(y-z)²+(z-x)²=2(x²+y²+z²)-2(xy+yz+zx)=2-2(xy+yz+zx)≥0.===>xy+yz+zx≤1.等号仅当x=y=z=√3/3时取得。∴（xy+yz+zx)max=1.综上可知，xy+yz+zx既有最大值，也有最小值。故选C.

Answer 2

选A
x^2+y^2+z^2=1,
2x^2+2y^2+2z^2-2（xy+yz+zx）
=x^2-2xy+y^2+y^2-2yz+z^2+x^2-2xz+z^2
=(x-y)^2+(y-z)^2+(x-z)^2>=0
即2x^2+2y^2+2z^2-2（xy+yz+zx)>=0
x^2+y^2+z^2>=xy+yz+zx
xy+yz+zx<=1
当且仅当x=y=z时取等
所以xy+yz+zx有最大值1

Answer 3

Cauchy : (x^2+y^2+z^2)(y^2+z^2+x^2)≥(xy+yz+zx)^2
=> 1≥(xy+yz+zx)^2 =>1>=|xy+yz+zx|=> -1≤xy+yz+zx≤1
=>选C