Question

求函数值域 (换元法来解)

已知 x^2+ xy + y^2 = 3 , x y 均为实数 求函数 x^2 - xy + y^2 的取值范围!

Answer 1

做变量替换
x=u-v/2,
y=v,
已知函数
x^2+
xy
+
y^2
=
3
变为
u^2+3/4*v^2
=
3
。
可知这是一个椭圆，有参数表示：
u=sqrt(3)cosθ,
v=2sinθ,
其中θ在0到2π之间。
故所求函数
x^2
-
xy
+
y^2
可以转化为
u^2-2*u*v+7/4*v^2，
或者进一步转化为参数表示
3*cosθ^2-4*sqrt(3)*cosθ*sinθ+7*sinθ^2，进一步化简得
3*cosθ^2-4*sqrt(3)*cosθ*sinθ+7*sinθ^2
=3+2(1-cos(2θ))-2*sqrt(3)*sin(2θ)
=5-4(cos(2θ)*1/2+sin(2θ)*sqrt(3)/2)
=5-4(cos(2θ-π/3))
由于θ在0到2π之间可以取任意值，所以
所求函数的最大值和最小值分别为
5＋4＝9
和5-4＝1，
并且可以求出函数达到最大值和最小值时对应的x和y的值分别为
x=sqrt(3)cos(π*11/12)-sin(π*11/12),
y=2sin(π*11/12)
和
x=1,y=1。