Question

证明1/n的n次方+2/n的n次方+.+n/n的n次方 数学

Answer 1

f(x)=xln(1-a/x),f'(x)=ln(1-a/x)+a/(x-a),f''(x)=－a^2/[x(x-a)^2]<0,再利用当x趋于无穷时f‘(x)趋于0知f'(x)>0,于是f(x)严格递增,故数列(1-k/n)^n是严格递增数列,且当n趋于无穷时趋于(1/e)^k,于是得到(1-k/n)^<(1/e)^k（其实我们就要这个不等式,如果你有别的方法证明的话,就不用上面这么麻烦了）.于是an=(n/n)^n+(1-1/n)^n+(1-2/n)^n+...+(1-(n-1)/n)^n<1+1/e+(1/e)^2+...+(1/e)^(n-1)<1/(1-1/e)=e/(e-1)