Question

如何证明2=<(1+1/n）的n次方＜3

Answer 1

只需要用到二项式公式 这是高中的知识
二项式定理http://baike.baidu.com/view/392493.htm
展开(1 + 1/n)^n = 1 + C(n,1)*(1/n) + C(n,2)*(1/n)^2 + ... + C(n,k)*(1/n)^k +...+C(n,n)*(1/n)^k
当n=1时 结论显然成立
当n >= 2时 就说明这个二项式展开至少有2项 而前2项1 + C(n,1)*(1/n)就等于2 后面项都是正数
那么2=<(1+1/n）的n次方 已经证明了
比较难的也是麻烦的就是证明后面（除了第一项1和第二项C(n,1)*(1/n)）的和小于1
首先
将C(n,k)根据定义的形式展开，这里k>=2(因为我们只考虑第三项之后的情况)
C(n,k) = n * (n-1) *...*(n-k+1) / k!
那么C(n,k)*(1/n)^k = C(n,k) / (n^k) = {n * (n-1) *...*(n-k+1) / (n^k)} / k!
前面{n * (n-1) *...*(n-k+1) / (n^k)} 观察一下 n到n-k+1共有k项 每一项都小于等于n
n^k看成k个n相乘
那么显然{n * (n-1) *...*(n-k+1) / (n^k)} <= 1
这样C(n,k)*(1/n)^k <= 1/k! 当k>=2时 ...................(*)
对于k!
k! = 1*2*3*...*k
除了1 之后的2 3 k都大于等于2
因此k! = 1*2*3*...*k >= 2^(k-1)
那么1 / k! <= 1 / 2^(k-1) ......................(**)
由(*)(**)两式 C(n,k)*(1/n)^k <= 1 / 2^(k-1)
带回原展开式
可看到
前两项都是1，第三项小于等于1/2，第4项小于等于1/4.....第k+2项小于等于1/(2^k)
又因为1/2 + 1/4 +.... <1
因此 小于3的也证明了

Answer 2

n=1/2时,(1+1/n)^n=3^(1/2)≈1.732<2

若n取正整数,则原命题正确.参见高等教育出版社出版,同济大学数学系编,2007年4月第6版的《高等数学.上册》第53到54页