Question

函数与映射的区别是什么？

Answer 1

映射：设a、b是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合a中的任何一个元素，在集合b中都有唯一的元素
和它对应，这样的对应叫做从集合a到集合b的映射。记作：f：a→b。函数：设a、b是非空数集，f：a→b是从a
到b的一个映射，则映射f：a→b为a到b的函数，记作：y=f(x)。函数的三要素：定义域、对应法则、值域。由于
值域是由定义域及对应法则决定的，所以也可以认为函数由定义域和对应法则两个要素确定。所以求一个函数必
须求出对应法则和定义域，两个函数当且仅当定义域和对应法则分别相同时，二者才称为同一函数。映射与函数
的相同点:(1)函数与映射都是两个非空集合中元素的对应关系;
(2)函数与映射的对应都具有方向性;(3)a中元素
具有任意性，b中元素具有唯一性。两者的区别：函数是一种特殊的映射，它要求两个集合中的元素必须是数，
而映射中两个集合的元素是任意的数学对象。有时函数和映射的对应法则可以用含有两个变量的等式来表示，在
函数中这个式子叫解析式。
函数的定义为：
1．传统定义(运动学观点下的定义)：设在某变化过程中有两个变量
，如果对于自变量
在某一范围内的每一个确定的值，
都有唯一确定的值与它对应，那么就称
是
的函数，
叫做自变量.自变量
取值的集合叫做函数的定义域，和自变量
对应的
的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.
2.现代定义（集合观点下的定义）：设
、
是两个非空数的集合，如果按某个确定的对应关系
，使对于集合
中的任意一个数
，在集合
中都有唯一确定的数
与它相对应，那么就称
为集合
到集合
的一个函数，记作
，其中
叫做自变量，
的取值范围
叫做函数
的定义域，与
对应的
的值叫做函数值，函数值的集合
叫做函数
的值域.
3.两个定义在本质上是一致的，只是叙述的出发点不同.
映射是定义是：设
、
是两个集合，如果按照某种对应法则
，对于集合
中的任意一个元素，在集合
中都有唯一的一个元素和它对应，这样的对应（包括集合
、
以及
到
的对应法则
）叫做集合
到集合
的映射，记作：
.
根据映射的定义，可以发现：映射强调的是一种对应关系，它是一种特殊的对应，其特点是：
（1）映射中集合
、
可以是数集，也可以是点集或其他集合，同时两个集合必须必须有先后次序，从集合
到集合
的映射与从集合
到集合
的映射是不同的.
（2）映射包括集合
、
以及
到
的对应法则
，三者缺一不可.
（3）对于一个从
到
的映射而言，
中每一个元素必有唯一的象，但
中的每一个元素却不一定有原象，若有也不一定只有一个.
根据集合和映射的定义可以看出：函数是一种特殊的映射，是非空数集之间的对应；映射不止包含函数一种对应，还有其他的对应.
检举
回答人的补充
2009-08-16
14:39
映射
可以是
一对一，
一对多，多对一
函数
只能是
一对一
或者
多对一
一对一的例子
比如
直线的函数
多对一的例子比如
y=x^2
抛物线
x1=
1
和x2=
-1
都对应y=1