Question

空间曲线的切向量是什么？

Answer 1

曲线在一点处的切向量可以理解为该点的切线（带个方向箭头）。

说明：

曲面的切向量可视为切平面中的向量。

对更一般的流形M，M在点P处的切向量，就是M中通过P点的曲线在P处的切向量。

切向量的概念是个几何概念，亦即它的定义和坐标选取无关。

因是几何量。这是微分几何中最基本的概念。

现实应用：

我们所接触到的空间，大至宇宙，小至细胞，其中都充满着五光十色、变幻纷杂的曲线。诸如太阳系行星的轨道，飞机的航道，盘山蜿蜒的公路，沙发里的弹簧，织物图案花纹，齿轮和凸轮的轮廓，生命遗传物质DNA的双螺旋结构，等等。

在人们接触到的曲线中，最简单的要算是直线和圆了。这些曲线是初等平面几何中讨论的对象。其次较为复杂的曲线是二次曲线，即椭圆、双曲线和抛物线。这些已经在平面解析几何里学习过，讨论的方法是用坐标和一元二次代数方程。

对于更复杂的曲线，仅仅用初等代数一般是不能解决问题的。研究更加一般的光滑曲线的几何性质，微积分则是有力的工具。我们可以用微积分来推导三个刻划一条空间曲线几何性质的基本几何量，就是弧长、曲率和挠率。