Question

已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出以下

已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出以下四个结论：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③2S 四边形AEPF =S △ABC ；④EF=AP，当∠EPF在ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），上述结论中始终正确的有______个．并请证明你认为正确的命题．

Answer 1

当∠EPF在ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），上述结论中始终正确的有3个． 理由如下： ∵AB=AC，∠BAC=90°， ∴∠B=∠C=45°， ∵P为边BC的中点， ∴AP=BP=CP，∠BAP=∠CAP=45°，AP⊥BC， ∴∠EAP=∠FCP， 又∵∠EPA+∠APF=90°，∠FPC+∠APF=90°， ∴∠EPA=∠FPC， 在△EPA和△FPC中 ∠EAP=∠FCP AP=PC ∠EPA=∠FPC ∴△EPA≌△FPC（ASA）， ∴AE=CF，EP=FP，所以①正确； ∴△EPF是等腰直角三角形，所以②正确； ∴四边形AEPF的面积等于△APC的面积， ∴2S 四边形AEPF =S △ABC ，所以③正确； 又∵EF= 2 PF， 而只有F点为AC的中点时，AP= 2 PF， 即点F为AC的中点时有EF=AP，所以④不一定正确． 所以当∠EPF在ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），上述结论中始终正确的有①②③，共3个． 故答案为3．