Question

在△ABC中，D是BC的中点，且AD=AC，DE⊥BC，与AB相交于点E，EC与AD相交于点F. （1）求证：△ABC∽△FCD

在△ABC中，D是BC的中点，且AD=AC，DE⊥BC，与AB相交于点E，EC与AD相交于点F. （1）求证：△ABC∽△FCD；（2）若DE=3，BC=8，求△FCD的面积.

Answer 1

（1）证明见试题解析；（2）4.5．

试题分析：（1）利用D是BC边上的中点，DE⊥BC可以得到∠EBC=∠ECB，而由AD=AC可以得到∠ADC=∠ACD，再利用相似三角形的判定，就可以证明题目结论； （2）过点A作AM⊥BC，垂足是M，利用等腰三角形性质求出DM，利用平行线性质定理，求出AM，从而求出△ABC的面积，再利用相似三角形的性质就可以求出三角形FCD的面积． 试题解析：（1）∵D是BC边上的中点，DE⊥BC，∴BD=DC，∠EDB=∠EDC=90°，∴△BDE≌△EDC，∴∠B=∠DCE，∵AD=AC，∴∠ADC=∠ACB，∴△ABC∽△FCD； （2）过点A作AM⊥BC，垂足是M，∵△ABC∽△FCD，BC=2CD，∴ ， ， ∵DE⊥BC，∴D是BC边上的中点，∴BD=DC，∵BC=8，∴DC=4，∵AD=AC，AM⊥DC，∴DM=MC=2，∴BM=4+2=6， ∵DE⊥BC，AM⊥DC，∴DE∥AM，∴ ，∴ ， ，，∴S △ ABC = BC×AM= ，∵ ，∴ ．