Question

在平面直角坐标系xOy中，设定点A（a，a），P是函数y= 1 x （x＞0）图象上一动点，若点P，A之

在平面直角坐标系xOy中，设定点A（a，a），P是函数y= 1 x （x＞0）图象上一动点，若点P，A之间的最短距离为2 2 ，则满足条件的实数a的所有值为______．

Answer 1

设点P (x， 1 x )(x＞0) ，则|PA|= (x-a ) 2 +( 1 x -a ) 2 = x 2 + 1 x 2 -2a(x+ 1 x )+2 a 2 = (x+ 1 x ) 2 -2a(x+ 1 x )+2 a 2 -2 ， 令 t=x+ 1 x ，∵x＞0，∴t≥2， 令g（t）=t 2 -2at+2a 2 -2=（t-a） 2 +a 2 -2， ①当a≥2时，t=a时g（t）取得最小值g（a）=a 2 -2，∴ a 2 -2 =2 2 ，解得 a= 10 ； ②当a＜2时，g（t）在区间[2，+∞）单调递增，∴t=2，g（t）取得最小值g（2）=2a 2 -4a+2， ∴ 2 a 2 -4a+2 =2 2 ，解得a=-1． 综上可知：a=-1或 10 ． 故答案为-1或 10 ．