Question

已知函数f（x）=13x3+12ax2+bx+c在x=x1处取得极大值，在x=x2处取得极小值，且满足x1∈（0，1），x2∈（1

已知函数f（x）=13x3+12ax2+bx+c在x=x1处取得极大值，在x=x2处取得极小值，且满足x1∈（0，1），x2∈（1，2），则2a2+b2?6b+9ab?3a的取值范围是______．

Answer 1

解：∵函数f（x）=

1

3

x³+

1

2

ax²+bx+c在x=x₁处取得极大值，在x=x₂处取得极小值，
∴x₁，x₂是导函数f′（x）=x²+ax+b的两根
由于导函数f′（x）=x²+ax+b的图象开口朝上且x₁∈（0，1），x₂∈（1，2），
∴

b＞0 1+a+b＜0 4+2a+b＞0

满足条件的约束条件的可行域如图所示：
令Z=

b?3

a

，则其几何意义是区域内的点与（0，3）连线的斜率，
∴由

1+a+b＝0 4+2a+b＝0

，可得a=-3，b=2
∴

b?3

a

∈（

1

3

，3）
∵

2a2+b2?6b+9

ab?3a

=

b?3

a

+2?

1

b?3 a

，
∴

b?3

a

=

2

时，