Question

在数列{a n }中，a 1 =1，当n≥2时，其前n项和S n 满足 S n 2 = a n ( S n - 1 2

在数列{a n }中，a 1 =1，当n≥2时，其前n项和S n 满足 S n 2 = a n ( S n - 1 2 ) ．（1）求a n ；（2）令 b n = S n 2n+1 ，求数列{b n }的前项和T n ．

Answer 1

（1）当n≥2时，a n =S n -S n-1 ， ∴ S n 2 =( S n - S n-1 )( S n - 1 2 )= S n 2 - 1 2 S n - S n S n-1 + 1 2 S n-1 ， ∴S n-1 -S n =2S n S n-1 ， ∴ 1 S n - 1 S n-1 =2 ， 即数列 { 1 S n } 为等差数列，S 1 =a 1 =1， ∴ 1 S n = 1 S 1 +(n-1)×2=2n-1 ， ∴ S n = 1 2n-1 ，…（4分） 当n≥2时，a n =s n -s n-1 = 1 2n-1 - 1 2n-3 = -2 (2n-1)(2n-3) ∴ a n =  1，n=1 -2 (2n-1)(2n-3) ，n≥2 …（8分） （2） b n = S n 2n+1 = 1 (2n-1)(2n+1) = 1 2 ( 1 2n-1 - 1 2n+1 ) ， ∴ T n = 1 2 [(1- 1 3 )+( 1 3 - 1 5 )+…+( 1 2n-1 - 1 2n+1 )] = 1 2 (1- 1 2n+1 )= n 2n+1